Bruchrechnen: die Stelle, an der viele den Anschluss verlieren

Warum ausgerechnet hier der Anschluss reißt

Bis zum Bruchrechnen geht es in Mathematik um Zahlen, die man zählen kann. Man kann sieben Äpfel hinlegen, man kann von zwölf fünf wegnehmen, und wenn man sich verrechnet, merkt man es beim Nachzählen. Mit dem ersten Bruch endet das. Drei Viertel kann man nicht hinlegen, und ob zwei Drittel mehr sind als fünf Achtel, sieht niemand auf den ersten Blick.

Dazu kommt ein zweites, und das ist das eigentliche Problem: Die Regeln widersprechen sich scheinbar. Beim Multiplizieren rechnet man oben mal oben und unten mal unten, was einfach ist. Genau dasselbe beim Addieren zu tun ist falsch, und zwar deutlich falsch. Wer die Regeln nur auswendig lernt, muss sich in jeder Aufgabe erinnern, welche gerade gilt. Wer versteht, warum sie verschieden sind, muss sich gar nichts merken.

Was ein Bruch eigentlich ist

Der Bruchstrich ist ein Geteiltzeichen. Drei Viertel bedeutet drei geteilt durch vier, und das ist keine Deutung, sondern dasselbe Zeichen in anderer Schreibweise. Wer das mit dem Taschenrechner prüft, bekommt 0,75, und wer vier Kinder drei Pizzen teilen lässt, bekommt dieselbe Antwort. Beides ist derselbe Vorgang.

Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile etwas zerlegt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile genommen werden. Das ist der gesamte Inhalt des Begriffs, und manche Kinder, die seit einem Jahr mit Brüchen rechnen, haben ihn nie in genau diesen zwei Sätzen gehört.

Erweitern und Kürzen: der Satz, der alles trägt

Wenn man einen Kuchen statt in vier Stücke in acht schneidet und dafür doppelt so viele Stücke nimmt, hat man genau gleich viel Kuchen. Drei Viertel sind sechs Achtel. Aus 3 durch 4 wird 6 durch 8, und beide sind 0,75. Der Wert ändert sich nicht, nur die Stückelung.

Rückwärts heißt derselbe Vorgang Kürzen. 18 Vierundzwanzigstel sind, durch 6 geteilt, drei Viertel, also wieder 0,75. Kürzen macht einen Bruch nicht kleiner, es macht ihn nur übersichtlicher. Kinder, die glauben, Kürzen verändere den Wert, trauen sich später nicht mehr zu kürzen und schleppen große Zahlen durch jede Aufgabe.

Warum die Regeln so aussehen, wie sie aussehen

Multiplizieren: warum man oben und unten rechnen darf

Zeichnen Sie ein Rechteck. Teilen Sie es mit senkrechten Strichen in fünf Spalten und markieren Sie vier davon: das sind vier Fünftel. Jetzt teilen Sie dasselbe Rechteck mit waagerechten Strichen in drei Zeilen und markieren zwei: das sind zwei Drittel davon. Doppelt markiert sind acht kleine Felder, und insgesamt gibt es fünfzehn. Zwei Drittel mal vier Fünftel sind acht Fünfzehntel.

Die Nenner werden multipliziert, weil drei waagerechte Zeilen mal fünf senkrechte Spalten fünfzehn Felder ergeben. Die Zähler werden multipliziert, weil zwei behaltene Zeilen mal vier behaltene Spalten acht Felder ergeben. Das ist der ganze Beweis, er passt auf eine Serviette, und danach vergisst niemand die Regel mehr.

Addieren: warum man das nicht darf

Ein Halbes plus ein Drittel ergibt nicht zwei Fünftel. Man sieht es sofort, wenn man kurz hinschaut: zwei Fünftel sind 0,4 und damit weniger als das eine Halbe, mit dem man angefangen hat. Etwas dazuzulegen kann nicht weniger ergeben.

Der Grund ist, dass die Teile verschieden groß sind. Halbe und Drittel lassen sich nicht zusammenzählen, so wie sich drei Meter und vier Zentimeter nicht zu sieben von irgendetwas addieren lassen. Deshalb erweitert man beide auf dieselbe Stückelung: drei Sechstel plus zwei Sechstel sind fünf Sechstel. Und Sechstel plus Sechstel darf man zusammenzählen, weil es jetzt dieselbe Sorte Teil ist.

Der Hauptnenner ist also kein Ritual, sondern die Antwort auf eine praktische Frage: In welcher Stückelung kann man beide Brüche ausdrücken? Bei fünf Sechsteln plus drei Achteln ist das Vierundzwanzigstel, man rechnet 20 plus 9 und erhält 29 Vierundzwanzigstel. Zur Kontrolle in Dezimalzahlen: 0,8333 plus 0,375 ergibt 1,2083, und 29 durch 24 ist ebenfalls 1,2083.

Dividieren: warum man den Kehrwert nimmt

Drei Viertel geteilt durch ein Halbes fragt: Wie oft passt ein Halbes in drei Viertel hinein? Ein Halbes sind zwei Viertel, und in drei Viertel passen zwei Viertel einmal ganz und einmal zur Hälfte. Die Antwort ist eineinhalb. Genau das liefert auch die Regel: drei Viertel mal zwei Eintel ist sechs Viertel, also drei Halbe, also 1,5.

Nebenbei löst dieses Bild eine Irritation, die viele Kinder stillschweigend mit sich herumtragen: Beim Teilen durch einen Bruch wird das Ergebnis größer, obwohl Teilen doch angeblich kleiner macht. Wenn man begriffen hat, dass die Frage lautet „wie oft passt es hinein“, ist das nicht mehr verwirrend, sondern selbstverständlich.

Wie man eine Lücke von unten schließt

Die falsche Reaktion ist, mehr von dem zu üben, was gerade dran ist. Wenn die Klasse Bruchgleichungen rechnet und ein Kind schon beim Erweitern unsicher ist, bringt jede weitere Bruchgleichung nur eine weitere Erfahrung des Scheiterns. Man muss ein Stück zurück, und das ist kein Rückschritt, sondern der kürzeste Weg nach vorn.

• Zuerst der Begriff. Zeichnen lassen: Was sind drei Fünftel? Wer das nicht zeichnen kann, rechnet auswendig.
• Dann Erweitern und Kürzen, bis es langweilig ist. Das ist der Baustein, auf dem alles Weitere steht.
• Dann Vergleichen: Was ist größer, zwei Drittel oder fünf Achtel? Auf Zwölftel und Vierundzwanzigstel gebracht sind es 16 und 15 Vierundzwanzigstel, zwei Drittel sind also knapp größer. Solche Aufgaben trainieren das Erweitern mit einem Ziel.
• Dann Multiplizieren, weil es das Einfachste ist und schnell ein Erfolgserlebnis bringt.
• Zuletzt Addieren und Subtrahieren, also das, woran es sichtbar gehakt hat. Es ist am Ende leicht, wenn das Erweitern sitzt.

Eine Kontrolle, die nichts kostet: jedes Ergebnis zusätzlich als Dezimalzahl aufschreiben und mit einer groben Schätzung vergleichen. Wer zwei Drittel plus drei Viertel rechnet und 1,4167 erhält, kann prüfen, ob das plausibel ist, denn beide Summanden liegen unter eins und zusammen deutlich darüber. Als Bruch ist das Ergebnis 17 Zwölftel, und 17 durch 12 ergibt genau 1,4167.

Warum das bis in die Oberstufe zählt

Ein Bruch verschwindet nicht, er wechselt nur das Kostüm. Die Steigung einer Geraden ist ein Bruch aus Höhenunterschied und Breite. Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Bruch. In der Analysis steht in fast jeder zweiten Zeile einer, spätestens wenn Terme wie 1 durch x auftauchen oder eine Stammfunktion mit einem Drittel beginnt.

Später kommen Buchstaben in die Brüche, und dann gilt exakt dasselbe wie vorher. Ein Term wie x hoch 2 minus 4, geteilt durch x minus 2, lässt sich zu x plus 2 kürzen, solange x nicht 2 ist. Wer den Vorgang mit Zahlen nie verstanden hat, hat hier keine Chance, ihn mit Buchstaben zu erraten. Deshalb lohnt sich die Reparatur in Klasse 7 oder 8 doppelt: Sie zahlt einmal in der nächsten Arbeit und ein zweites Mal fünf Jahre später.

Wann es an etwas anderem liegt

Wenn ein Kind die Bruchregeln erklären kann und die Aufgaben trotzdem nur langsam und mit vielen kleinen Fehlern löst, ist das Problem meistens nicht der Bruch, sondern das kleine Einmaleins. Erweitern, Kürzen und Hauptnenner bestehen aus Kopfrechnen, und wer bei 7 mal 8 zögert, verliert bei jedem Zwischenschritt Konzentration. Dann ist der richtige Einsatz zehn Minuten Einmaleins am Tag und nicht mehr Bruchrechnen.

Und wenn ein Kind zu Hause richtig rechnet und in der Arbeit einbricht, geht es nicht um Brüche, sondern um Zeitdruck oder Prüfungsangst. Auch das lässt sich angehen, aber nicht mit Fachnachhilfe. Es lohnt sich, vorher ehrlich zu unterscheiden, welcher der drei Fälle vorliegt, sonst behandelt man das falsche Problem sehr gründlich.