Das Wichtigste in Kürze
- Meistens ab Klasse 7 steht ein Buchstabe für eine Zahl, die man noch nicht kennt. Dieser Schritt ist größer, als er im Unterricht aussieht.
- Ein Term wird umgeformt, eine Gleichung wird gelöst. Wer beides verwechselt, arbeitet an der Aufgabe vorbei.
- Äquivalenzumformung heißt: auf beiden Seiten dasselbe. Das ist die ganze Regel, alles andere sind Anwendungen davon.
- Jede Umformung lässt sich mit einer eingesetzten Zahl selbst prüfen. Damit braucht ein Kind niemanden mehr, der ihm sagt, ob es stimmt.
Der Buchstabe ist das Neue, nicht das Rechnen
Bis zu diesem Punkt war jede Aufgabe eine Anweisung: Rechne 7 mal 8. Das Ergebnis war eine Zahl, und danach war die Aufgabe fertig. Mit dem ersten x ändert sich die Sache grundlegend. Jetzt steht da eine Aussage über eine Zahl, die noch niemand kennt, und die Aufgabe besteht darin, sie einzukreisen.
Das ist ein echter gedanklicher Sprung, und er wird im Unterricht oft in einer halben Stunde erledigt, weil die ersten Aufgaben leicht aussehen. Ein Kind, das 3 mal x gleich 12 im Kopf löst, hat vielleicht gar nicht gerechnet, sondern geraten und die Probe im Kopf gemacht. Das funktioniert einige Wochen lang hervorragend und hört genau dann auf zu funktionieren, wenn die Zahlen unbequem werden.
Deshalb lohnt sich eine Frage, die unangenehm einfach klingt: Was bedeutet dieses x hier eigentlich? Wer antworten kann „die Zahl, die ich einsetzen müsste, damit links und rechts dasselbe herauskommt“, hat den Schritt gemacht. Wer nur sagt „das muss man ausrechnen“, hat ihn noch vor sich.
Term und Gleichung sind nicht dasselbe
Ein Term ist ein Rechenausdruck ohne Gleichheitszeichen, zum Beispiel 3 mal in Klammern x plus 4. Man kann ihn umformen, also anders aufschreiben, aber man kann ihn nicht lösen, weil es nichts zu lösen gibt. Eine Gleichung dagegen behauptet, dass zwei Terme denselben Wert haben, und diese Behauptung stimmt nur für bestimmte Zahlen. Die sucht man.
Diese Unterscheidung klingt nach Wortklauberei und ist der Grund für eine ganze Sorte von Fehlern. Kinder, die sie nicht kennen, schreiben unter einen Term plötzlich ein „geteilt durch 3“ an den Rand, so wie sie es bei Gleichungen gelernt haben, und verändern damit den Wert. Bei einer Gleichung ist das erlaubt, weil man beide Seiten gleich behandelt. Bei einem Term gibt es keine zweite Seite, also gibt es auch nichts auszugleichen.
Die drei Stellen, an denen die Umformung kippt
Die Klammer, die halb ausmultipliziert wird
3 mal in Klammern x plus 4 ist 3x plus 12, nicht 3x plus 4. Die 3 gehört an jeden Summanden in der Klammer. Wer unsicher ist, setzt eine Zahl ein: Für x gleich 2 steht in der Klammer 6, mal 3 sind 18. Die richtige Umformung liefert 3 mal 2 plus 12, also ebenfalls 18. Die falsche liefert 6 plus 4, also 10. Der Unterschied ist sofort sichtbar, und dafür braucht es keine Lehrkraft.
Das Minus vor der Klammer
Das ist eine der klassischen Stellen, an denen in der Mittelstufe Punkte verloren gehen. 10 minus in Klammern x minus 3 ist 10 minus x plus 3, also 13 minus x. Das Minus kehrt jedes Vorzeichen in der Klammer um, auch das zweite. Gegenprobe mit x gleich 4: In der Klammer steht 1, also 10 minus 1 gleich 9. Und 13 minus 4 ist ebenfalls 9.
Ein Kind, das hier schludert, macht keinen Denkfehler, sondern einen Automatismusfehler, und der lässt sich nur durch Menge abstellen. Zwanzig kurze Aufgaben dieser einen Sorte an fünf Tagen wirken mehr als eine lange Erklärung.
Die binomische Formel, die gar keine sein müsste
In Klammern a plus b, zum Quadrat, ist nicht a hoch 2 plus b hoch 2. Das ist mit Zahlen in drei Sekunden widerlegt: 3 plus 4 ergibt 7, im Quadrat 49. Dagegen sind 3 hoch 2 plus 4 hoch 2 gleich 9 plus 16, also 25. Richtig ist a hoch 2 plus 2ab plus b hoch 2, und die fehlenden 24 sind genau 2 mal 3 mal 4.
Wer die Formel einmal so gesehen hat, muss sie nicht mehr glauben. Und wer sie vergisst, kann sie sich jederzeit herleiten, indem er die Klammer schlicht ausmultipliziert. Das ist der eigentliche Punkt an den binomischen Formeln: Sie sind eine Abkürzung, kein Gesetz. Man kommt auch ohne sie ans Ziel, nur langsamer.
Auf beiden Seiten dasselbe, mehr ist es nicht
Das Bild dazu ist eine Waage im Gleichgewicht. Was man links weglegt, muss man auch rechts weglegen, sonst kippt sie. Was man links verdoppelt, muss man rechts verdoppeln. Solange man beide Seiten gleich behandelt, bleibt die Aussage wahr, und deshalb heißt so ein Schritt Äquivalenzumformung: Die neue Gleichung hat genau dieselben Lösungen wie die alte.
Ein Beispiel mit x auf beiden Seiten, weil daran viele hängen bleiben: 4x minus 7 gleich 2x plus 9. Auf beiden Seiten 2x abziehen ergibt 2x minus 7 gleich 9. Auf beiden Seiten 7 addieren ergibt 2x gleich 16. Durch 2 teilen ergibt x gleich 8. Probe: links 32 minus 7 gleich 25, rechts 16 plus 9 gleich 25.
Zwei Umformungen, die verboten sind
- Mit null multiplizieren. Aus 2x gleich 6 wird dann 0 gleich 0. Das stimmt sogar, sagt aber nichts mehr über x aus. Die Information ist weg.
- Durch einen Buchstaben teilen. Aus x hoch 2 gleich 3x wird durch Teilen x gleich 3. Das ist eine Lösung, aber x gleich 0 ist ebenfalls eine, denn 0 hoch 2 ist 0 und 3 mal 0 auch. Beim Teilen durch x ist sie verlorengegangen, weil x eben null sein könnte. Richtig ist, alles auf eine Seite zu bringen und auszuklammern: x mal in Klammern x minus 3 gleich null, und ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.
Dieser zweite Fall wirkt wie eine Spitzfindigkeit. Er ist der Grund, warum in der Oberstufe reihenweise Nullstellen fehlen, und dort kostet jede fehlende Lösung Punkte.
Die Probe ist kein Extraaufwand
Die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen dauert zwanzig Sekunden und findet jeden Rechenfehler auf dem Weg. Es gibt in der Mathematik wenige Stellen, an denen man sein Ergebnis selbst überprüfen kann, ohne die Lösung zu kennen. Diese ist eine davon, und sie wird fast nie genutzt.
Warum das in der Analysis wieder auftaucht
Eine typische Oberstufenaufgabe lautet, die Extremstellen von f von x gleich x hoch 3 minus 3x hoch 2 zu bestimmen. Die Ableitung ist 3x hoch 2 minus 6x, und die Regel dafür lernt man in zehn Minuten. Danach beginnt der Teil, an dem die Punkte verloren gehen: 3x hoch 2 minus 6x gleich null. Ausklammern ergibt 3x mal in Klammern x minus 2 gleich null, also x gleich 0 oder x gleich 2.
Ausklammern lernt man meistens in Klasse 8, den Satz vom Nullprodukt etwa ein Jahr später. Die Analysis daran ist eine einzige Zeile. Wenn eine Klausur in der Oberstufe schlecht ausfällt, liegt es deshalb sehr oft nicht am neuen Stoff, sondern an dem, was zwei bis vier Jahre vorher nicht ganz fest geworden ist. Das ist eine gute Nachricht, weil sich alter Stoff ohne Zeitdruck nachholen lässt, während neuer jede Woche weiterläuft.
Wann es an etwas anderem liegt
Wenn ein Kind Gleichungen sicher löst und nur bei Textaufgaben nicht anfangen kann, ist das kein Gleichungsproblem, sondern ein Übersetzungsproblem. Das ist eine andere Baustelle und wird anders geübt.
Und wenn beim Umformen ständig kleine Vorzeichen- und Rechenfehler passieren, obwohl der Weg jedes Mal richtig ist, hilft keine weitere Erklärung. Dann helfen kürzere Zeilen, mehr Platz auf dem Blatt und die Angewohnheit, jede Zeile untereinander statt nebeneinander zu schreiben. Das klingt banal und spart in einer Klassenarbeit mehr Punkte als jede zusätzliche Regel.