Der Sprung in die Oberstufe: was vorher sitzen muss

Der Sprung ist nicht der, für den man ihn hält

Der Beginn der Oberstufe gilt als Bruch, und in einem Punkt stimmt das: Das Tempo zieht an, die Aufgaben werden länger, und es wird mehr vorausgesetzt und weniger wiederholt. Was daraus meistens gefolgert wird, stimmt aber nicht. Die Folgerung lautet, der neue Stoff sei zu schwer. Meistens ist er das nicht.

Sehen Sie sich an, was in einer typischen Aufgabe wirklich passiert. Gesucht sind die Extremstellen von f von x gleich x hoch 3 minus 3x hoch 2. Der Analysis-Anteil daran ist eine Zeile: Man leitet ab und erhält 3x hoch 2 minus 6x. Diese Regel steht auf einem Merkzettel und ist an einem Nachmittag gelernt.

Danach beginnt der Teil, der Punkte kostet. Man setzt gleich null und klammert aus: 3x mal in Klammern x minus 2 gleich null, also x gleich 0 oder x gleich 2. Ausklammern lernt man meistens in Klasse 8, den Satz, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn ein Faktor null ist, etwa ein Jahr später. Wer hier stockt, hat kein Problem mit Analysis, sondern eines, das vier Jahre alt ist und nie aufgefallen war, weil man ihm bis dahin ausweichen konnte.

Wo genau die Punkte verloren gehen

Beim Auflösen nach dem Ableiten

Bei f von x gleich x hoch 3 minus 3x ist die Ableitung 3x hoch 2 minus 3. Gleich null gesetzt ergibt das x hoch 2 gleich 1, also x gleich 1 oder x gleich minus 1. Die zweite Lösung wird regelmäßig vergessen, weil beim Wurzelziehen nur an die positive Zahl gedacht wird. Eine Kurve hat dann statt zweier Extremstellen nur eine, und der Rest der Aufgabe steht auf einem falschen Fundament.

Bei der Klammer

Die Herleitung der Ableitung von x hoch 2 besteht aus zwei Mittelstufenschritten. Man rechnet in Klammern x plus h zum Quadrat minus x hoch 2, alles geteilt durch h. Die binomische Formel liefert oben x hoch 2 plus 2xh plus h hoch 2 minus x hoch 2, also 2xh plus h hoch 2. Kürzt man durch h, bleibt 2x plus h, und für sehr kleine h ist das 2x.

Die ganze Rechnung ist eine binomische Formel und ein gekürzter Bruch. Wer beides sicher kann, versteht an dieser Stelle etwas Neues. Wer es nicht sicher kann, sieht eine unverständliche Zeichenfolge und lernt das Ergebnis auswendig. Beide sitzen in derselben Stunde.

Bei den Brüchen und Potenzen

In der Oberstufe schreibt man 1 durch x als x hoch minus 1 und die Wurzel aus x als x hoch ein Halb, weil die Ableitungsregel dann auch dafür funktioniert. Diese Schreibweisen sind Potenzgesetze aus der Mittelstufe. Wenn sie wackeln, wackelt jede zweite Aufgabe, ohne dass jemand es auf die Potenzgesetze zurückführt.

Die sechs Bausteine, die vorher sitzen sollten

Diese Liste ist kein Lehrplan, sondern eine praktische Zusammenstellung dessen, was in Oberstufenaufgaben ständig vorausgesetzt und selten noch erklärt wird. Was Ihre Schule im Einzelnen behandelt, sagt Ihnen die Fachlehrkraft.

• Bruchrechnen, auch mit Buchstaben. Kürzen, Hauptnenner, Doppelbrüche. In der Quotientenregel und bei gebrochenrationalen Funktionen steht nichts anderes.
• Klammern und binomische Formeln. Ausmultiplizieren, das Minus vor der Klammer, Ausklammern in beide Richtungen.
• Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kommen bei Steckbriefaufgaben sofort wieder.
• Quadratische Gleichungen. Lösungsformel, Ausklammern, Satz vom Nullprodukt. Zur Kontrolle: x hoch 2 minus 6x plus 8 gleich null hat die Lösungen 2 und 4, denn 4 minus 12 plus 8 ist null und 16 minus 24 plus 8 ebenfalls.
• Potenz- und Wurzelgesetze. Negative Exponenten, gebrochene Exponenten, Potenzen multiplizieren und teilen.
• Lineare Funktionen. Steigung aus zwei Punkten, die Geradengleichung aufstellen. Durch die Punkte 1 und 3 sowie 4 und 9 geht die Gerade y gleich 2x plus 1. Genau diese Rechnung braucht man später für jede Tangente.

Wie man herausfindet, was tatsächlich fehlt

Raten hilft hier nicht, und Selbsteinschätzung ist unzuverlässig, weil vertrauter Stoff sich beim Anschauen leicht anfühlt. Der belastbare Weg ist eine kurze eigene Diagnose, und sie dauert eine Stunde.

Nehmen Sie die letzten zwei bis drei Arbeiten aus Klasse 9 und 10 und rechnen Sie sie ohne Hilfsmittel und ohne Blick in die Lösung noch einmal. Danach wird jeder Fehler einem der sechs Bausteine zugeordnet. Nicht „Rechenfehler“, sondern „Minus vor der Klammer“ oder „Wurzel nur positiv genommen“. Wenn derselbe Baustein dreimal auftaucht, haben Sie Ihr Thema, und dann ist weiteres Suchen überflüssig.

Wichtig ist dabei der Verzicht auf den Taschenrechner. Nicht aus Prinzip, sondern weil er die interessanten Fehler versteckt: Er rechnet korrekt aus, was man ihm falsch eingibt, und der Weg bleibt unsichtbar.

Ein Plan für die Ferien

Ferien sind für diese Art von Reparatur der mit Abstand beste Zeitpunkt, und zwar aus einem einzigen Grund: Es kommt kein neuer Stoff dazu. Während des Schuljahrs arbeitet man gegen einen fahrenden Zug, in den Ferien steht er still.

• Zwölf Tage, 45 Minuten am Tag. Mehr ist nicht nötig, und mehr hält ohnehin niemand durch.
• Ein Baustein pro zwei Tage. Am ersten Tag zehn Aufgaben ohne Hilfsmittel, am zweiten die Fehler von gestern und fünf neue.
• Jeder Tag beginnt mit fünf Minuten Wiederholung vom Vortag, aus dem Kopf und ohne Blick ins Heft.
• Ein Fehlerheft mitführen: die Aufgabe, der eigene falsche Weg, der richtige Weg, ein Satz zur Ursache. Vor der ersten Klausur ist das die einzige Zusammenfassung, die man wirklich braucht.

Dass dieser Zuschnitt so aussieht, ist keine Geschmacksfrage. Roediger und Karpicke ließen zwei Gruppen denselben Text lernen, die eine las ihn wiederholt, die andere rief ihn aus dem Gedächtnis ab. Nach fünf Minuten lag das Wiederlesen mit 83 zu 71 Prozent vorn. Eine Woche später hatte sich das Bild umgekehrt: 61 Prozent bei der Abrufgruppe gegen 40 Prozent bei der Lesegruppe. In der großen Übersichtsarbeit von Dunlosky und Kollegen erhielten von zehn geprüften Lerntechniken nur zwei die höchste Stufe, nämlich sich selbst abfragen und verteiltes Lernen. Genau darauf beruhen die vier Punkte oben.

Wann Nachhilfe hier nicht das Richtige ist

Wenn die Diagnose ergibt, dass alle sechs Bausteine sitzen und wirklich nur der neue Stoff fehlt, ist Nachhilfe nicht der naheliegendste Schritt. Dann reichen oft die Sprechstunde der Fachlehrkraft, eine feste Lerngruppe mit zwei Mitschülern und konsequent bearbeitete Aufgaben aus dem Buch. Wer den alten Stoff beherrscht, kann neuen nachholen, und das ist eine deutlich kleinere Aufgabe.

Und wenn ein Kind in Mathematik erkennbar arbeitet und trotzdem nicht vorankommt, während gleichzeitig in mehreren anderen Fächern etwas kippt, geht es meistens nicht mehr um Mathematik. Dann ist die ehrlichste Reaktion, zuerst herauszufinden, was tatsächlich los ist, und erst danach über Fachunterricht zu sprechen. Nachhilfe im falschen Moment kostet Zeit und Zuversicht, und beides ist in einem Oberstufenjahr knapp.