Das Wichtigste in Kürze
- Prozent heißt von hundert. Eine Prozentangabe ohne die Angabe, wovon, ist keine vollständige Zahl.
- Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz: drei Größen, und in jeder Aufgabe sind zwei davon gegeben.
- Plus zwanzig Prozent und danach minus zwanzig Prozent landet nicht wieder beim Ausgangswert, weil sich der Grundwert dazwischen geändert hat.
- Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit einer Zeitangabe. Wer das eine kann, muss beim anderen nur noch durch die Monate teilen.
Die Frage, die fast jeden Fehler erklärt
Zwanzig Prozent von was. Diese vier Wörter erklären den Großteil aller Fehler in der Prozentrechnung, und zwar bis weit in die Oberstufe hinein. Prozent ist kein Maß wie Meter oder Kilogramm, sondern immer ein Anteil an etwas anderem. Zwanzig Prozent sind je nach Bezugsgröße vier Euro oder vierhundert, und wer die Bezugsgröße nicht danebenschreibt, rechnet früher oder später gegen die falsche.
Die praktische Empfehlung ist deshalb unspektakulär und wirkt sofort: In jeder Aufgabe zuerst eine Zeile schreiben, in der steht, was der Grundwert ist, also die Größe, die hundert Prozent entspricht. Bei Aufgaben mit zwei Schritten sind es zwei Zeilen, weil sich der Grundwert unterwegs ändert. Diese Zeile ist keine Formalität, sie ist die eigentliche Denkarbeit.
Drei Größen, und immer sind zwei gegeben
Der Grundwert ist das Ganze, also hundert Prozent. Der Prozentwert ist der Teil davon. Der Prozentsatz sagt, wie groß dieser Teil ist. Alles, was in der Schule an Prozentaufgaben vorkommt, ist eine von drei Fragen, und mehr Formeln braucht niemand.
Der Prozentwert ist gesucht
Zwanzig Prozent von 80 Euro. Man rechnet 80 mal 20 durch 100 und erhält 16 Euro. Wer lieber mit dem Taschenrechner arbeitet, nimmt gleich 80 mal 0,2, denn zwanzig Prozent sind der Faktor 0,2. Diese zweite Schreibweise lohnt sich, weil sie später bei mehreren Schritten hintereinander die Arbeit halbiert.
Der Prozentsatz ist gesucht
15 von 60 Schülern. Man teilt 15 durch 60 und erhält 0,25, also 25 Prozent. Der Teil kommt oben, das Ganze unten, und wer sich unsicher ist, macht die Plausibilitätsprüfung: 15 ist deutlich weniger als die Hälfte von 60, das Ergebnis muss also deutlich unter 50 Prozent liegen.
Der Grundwert ist gesucht
18 Kinder sind 15 Prozent aller Kinder. Wie viele sind es insgesamt? Man teilt 18 durch 0,15 und erhält 120. Probe: 15 Prozent von 120 sind 18. Dieser dritte Fall ist der unbeliebteste, weil man hier teilen muss statt zu multiplizieren, und genau deshalb ist er in Klassenarbeiten beliebt.
Warum plus zwanzig und minus zwanzig nicht null ergibt
Ein Preis von 100 Euro steigt um zwanzig Prozent auf 120 Euro. Danach fällt er um zwanzig Prozent. Die meisten erwarten wieder 100 Euro, heraus kommen aber 96 Euro. Der Grund steht schon im ersten Abschnitt: Die zwanzig Prozent beim Steigen waren zwanzig Prozent von 100, die zwanzig Prozent beim Fallen sind zwanzig Prozent von 120, also 24 Euro. Der Grundwert hat sich zwischendurch geändert.
Mit Faktoren sieht man es noch schneller: Steigen um zwanzig Prozent ist mal 1,2, Fallen um zwanzig Prozent ist mal 0,8, und 1,2 mal 0,8 ergibt 0,96. Es bleiben also 96 Prozent übrig, und zwar unabhängig davon, wie hoch der Preis am Anfang war. Interessant ist außerdem, dass die Reihenfolge egal ist: Erst minus zwanzig Prozent auf 80 Euro, dann plus zwanzig Prozent, ergibt ebenfalls 96 Euro.
Der Rückweg vom Endpreis
Eine Jacke kostet nach 25 Prozent Rabatt 45 Euro. Was hat sie vorher gekostet? Der verbreitete Fehler ist, 25 Prozent von 45 Euro draufzurechnen, also 11,25 Euro, und auf 56,25 Euro zu kommen. Das ist falsch, weil der Rabatt nicht vom neuen, sondern vom alten Preis genommen wurde.
Richtig ist: 45 Euro entsprechen 75 Prozent des alten Preises. Also 45 geteilt durch 0,75 gleich 60 Euro. Probe: 25 Prozent von 60 Euro sind 15 Euro, und 60 minus 15 ergibt 45. Dieselbe Denkfigur begegnet einem beim Nettopreis: Aus einem Bruttopreis von 238 Euro wird der Nettowert nicht durch Abzug von 19 Prozent bestimmt, das ergäbe 192,78 Euro, sondern durch Teilen durch 1,19, und das ergibt genau 200 Euro.
Zinsen sind Prozente mit einer Uhr
Zinsen sind kein neues Thema, sondern Prozentrechnung mit einer Zeitangabe. Wer 2000 Euro für ein Jahr zu drei Prozent anlegt, bekommt 60 Euro Zinsen, und das ist exakt die Rechnung aus dem ersten Fall oben. Neu sind nur zwei Zusätze.
Kürzer als ein Jahr
Für drei Monate bekommt man nicht 60 Euro, sondern den Anteil davon, also 60 mal 3 geteilt durch 12 gleich 15 Euro. In der Schule wird dabei meistens mit gleich langen Monaten gerechnet, also mit Zwölfteln eines Jahres. Wichtig ist nur, dass Zinssatz und Zeitraum zusammenpassen: Ein Jahreszinssatz gehört mit Jahresanteilen multipliziert.
Zinseszins: warum das Ergebnis größer ist als erwartet
Legt man 1000 Euro drei Jahre lang zu drei Prozent an und lässt die Zinsen stehen, verzinsen sich diese im zweiten Jahr mit. Man rechnet deshalb nicht dreimal 30 Euro, sondern 1000 mal 1,03 mal 1,03 mal 1,03. Das ergibt 1092,73 Euro statt 1090 Euro. Der Unterschied beträgt hier nur 2,73 Euro und wirkt lächerlich klein.
Genau daran lässt sich aber etwas zeigen, das über die Schule hinausgeht: Der Effekt wächst mit der Zeit, und deshalb sieht dieselbe Rechnung über zwanzig oder dreißig Jahre völlig anders aus. Wer die Faktorschreibweise beherrscht, kann solche Fragen selbst ausrechnen statt sie zu glauben, und das ist eine der wenigen Stellen im Mathematikunterricht, an denen sich der Nutzen im Alltag von selbst erklärt.
Prozent und Prozentpunkte sind nicht dasselbe
Steigt ein Anteil von 4 Prozent auf 6 Prozent, dann ist er um 2 Prozentpunkte gestiegen und gleichzeitig um 50 Prozent, denn 2 ist die Hälfte von 4. Beide Aussagen sind richtig, und sie klingen völlig verschieden. In Zeitungen wird meistens die eindrucksvollere gewählt.
- Prozentpunkte vergleichen zwei Prozentangaben miteinander, also die reine Differenz.
- Prozent bezieht die Veränderung auf den Ausgangswert, also auf die 4 Prozent.
- Wer beides unterscheiden kann, liest Nachrichten anders. Das ist nebenbei das beste Argument, das man einem Kind für dieses Thema geben kann.
Wann es nicht an der Prozentrechnung liegt
Wenn ein Kind die drei Grundaufgaben sicher rechnet und trotzdem an Sachaufgaben scheitert, ist das kein Prozentproblem. Dann geht es darum, aus einem Text herauszulesen, welche der drei Größen gegeben und welche gesucht ist. Das ist Übersetzungsarbeit und wird anders geübt als Rechnen.
Und wenn beim Teilen durch 0,75 oder beim Umgang mit Kommazahlen die Fehler passieren, liegt die Lücke im Rechnen mit Dezimalzahlen und nicht bei den Prozenten. Auch das ist eine gute Nachricht, weil es ein engeres und schneller zu schließendes Thema ist. Es lohnt sich, das vorher zu unterscheiden, statt wochenlang Prozentaufgaben zu üben, die an einer ganz anderen Stelle scheitern.