Geometrie: warum die Skizze mehr löst als die Formel

Warum Formeln hier weniger helfen als anderswo

Eine Formelsammlung nützt in der Geometrie erstaunlich wenig, und das ist kein Zufall. Bei einer Gleichung steht die Aufgabe fertig da und man muss sie nur behandeln. Bei einer Geometrieaufgabe steht ein Sachverhalt da, und die eigentliche Arbeit besteht darin, ihn in eine Figur zu übersetzen, in der man dann rechnen kann. Die Formel selbst ist die letzte Zeile.

Deshalb gibt es hier ein Muster, das viele Eltern kennen: Das Kind kann alle Flächenformeln aufsagen und schreibt in der Arbeit trotzdem nichts hin. Das ist kein Widerspruch. Es fehlt nicht die Formel, sondern der Schritt davor. Genau dieser Schritt lässt sich üben, und er ist sogar leichter zu üben als das Rechnen, weil man ihn nicht ausrechnen muss.

Die Skizze löst die halbe Aufgabe

Eine Skizze muss nicht maßstabsgetreu und nicht schön sein. Sie muss alles enthalten, was in der Aufgabe steht, und zwar an der richtigen Stelle. Jede gegebene Länge wird an ihre Seite geschrieben, jeder rechte Winkel bekommt sein Kästchen, und die gesuchte Größe bekommt ein Fragezeichen. Wer das tut, sieht die Lösung oft, bevor er gerechnet hat.

Ein Beispiel dafür, wie viel eine Zeichnung leistet: Eine Leiter ist 5 Meter lang und steht mit dem Fuß 3 Meter von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? In Worten ist das eine Textaufgabe. Gezeichnet ist es ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Leiter die längste Seite ist, und dann steht die Rechnung praktisch schon da: 3 hoch 2 plus etwas gleich 5 hoch 2, also 9 plus 16 gleich 25, die Höhe ist 4 Meter.

Eine kleine Übung, die dieses Denken trainiert und dabei ohne Rechnen auskommt: zehn Aufgaben nehmen und nur die Skizzen anfertigen, mit allen Angaben und dem Fragezeichen, dann aufhören. Das dauert eine Viertelstunde und trainiert genau die Fertigkeit, die in der Arbeit fehlt.

Pythagoras: eine Formel, drei Fehlerquellen

a hoch 2 plus b hoch 2 gleich c hoch 2, oder kurz a² + b² = c². Die Formel ist in einer Minute gelernt, und trotzdem gehen an ihr regelmäßig Punkte verloren. Die drei Ursachen sind immer dieselben.

Erstens: kein rechter Winkel

Der Satz gilt ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck. In einem beliebigen Dreieck ist er schlicht falsch, und eine Aufgabe, in der kein rechter Winkel vorkommt, verlangt etwas anderes. Wer die Skizze gemacht und die rechten Winkel eingezeichnet hat, stellt sich diese Frage automatisch.

Zweitens: die falsche Seite als c

c ist immer die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, und sie ist immer die längste. Wenn eine Aufgabe die längste Seite und eine kurze angibt und nach der zweiten kurzen fragt, wird nicht addiert, sondern subtrahiert. Beispiel: c ist 13, a ist 5, dann ist b hoch 2 gleich 169 minus 25 gleich 144, also b gleich 12.

Wer hier stattdessen addiert, bekommt 194 und daraus etwa 13,93. Das wäre eine Kathete, die länger ist als die Hypotenuse, was in keinem Dreieck vorkommen kann. Diese Kontrolle dauert zwei Sekunden und fängt den Fehler zuverlässig ab.

Drittens: das Quadrat am Ende vergessen

Aus c hoch 2 gleich 25 folgt c gleich 5 und nicht c gleich 25. Der Fehler klingt albern und passiert unter Zeitdruck ständig. Hilfreich sind ein paar bekannte Zahlentripel, die man wiedererkennt: 3, 4, 5 und 6, 8, 10 und 5, 12, 13. Wer sie kennt, merkt sofort, wenn ein Ergebnis nicht passt.

Zusammengesetzte Figuren: zerlegen statt suchen

Für eine L-förmige Grundfläche gibt es keine Formel, und danach zu suchen ist die häufigste Sackgasse. Solche Figuren zerlegt man in Rechtecke, Dreiecke und Kreisteile, deren Flächen man kennt, und addiert oder subtrahiert am Ende.

Ein durchgerechnetes Beispiel: Ein Rechteck ist 10 Meter breit und 6 Meter hoch, aus einer Ecke ist ein Stück von 4 Metern Breite und 3 Metern Höhe herausgeschnitten. Über die Differenz gerechnet sind das 60 Quadratmeter minus 12 Quadratmeter, also 48 Quadratmeter. Man kann dieselbe Figur auch in zwei Streifen zerlegen, einen unteren von 10 mal 3 und einen oberen von 6 mal 3, also 30 plus 18, und erhält wieder 48 Quadratmeter.

Dass zwei verschiedene Zerlegungen dasselbe ergeben, ist der beste Beweis dafür, dass man die Figur verstanden hat. Es ist außerdem eine Kontrolle, die man in der Klassenarbeit selbst durchführen kann, wenn Zeit übrig ist.

• Rechteck: Länge mal Breite. Dreieck: Grundseite mal Höhe, geteilt durch 2.
• Trapez: die beiden parallelen Seiten addieren, halbieren, mal Höhe. Bei 8 und 4 als parallelen Seiten und der Höhe 5 sind das 30 Quadratzentimeter. Zerlegt in ein Rechteck von 4 mal 5 und ein Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 5 ergibt sich 20 plus 10, also ebenfalls 30.
• Kreis: Pi mal Radius zum Quadrat. Bei einem Radius von 3 Zentimetern also etwa 28,27 Quadratzentimeter.

Körper: warum das Volumen so schnell wächst

Verdoppelt man den Radius eines Kreises von 3 auf 6 Zentimeter, wächst die Fläche nicht auf das Doppelte, sondern auf das Vierfache, also von etwa 28,27 auf etwa 113,10 Quadratzentimeter. Bei Körpern ist es noch drastischer: Ein Würfel mit 2 Zentimetern Kantenlänge hat 8 Kubikzentimeter Volumen, einer mit 4 Zentimetern hat 64, also das Achtfache.

Der Grund ist, dass in eine Fläche zwei Längen eingehen und in ein Volumen drei. Wer das einmal begriffen hat, hat gleichzeitig die gefährlichste Fehlerquelle bei Einheiten verstanden: Ein Quadratmeter sind nicht 100, sondern 10 000 Quadratzentimeter, und ein Kubikmeter sind eine Million Kubikzentimeter. Ein Liter ist ein Kubikdezimeter, also 1000 Kubikzentimeter.

Bei den Körperformeln lohnt es sich, nicht fünf Formeln zu lernen, sondern ein Prinzip: Bei geraden Körpern mit gleichbleibendem Querschnitt, also bei Prisma und Zylinder, ist das Volumen die Grundfläche mal die Höhe. Ein Zylinder mit 5 Zentimetern Radius und 10 Zentimetern Höhe hat also etwa 785,40 Kubikzentimeter. Und alles, was oben spitz zuläuft, also Pyramide und Kegel, hat genau ein Drittel davon. Das sind zwei Sätze statt fünf Formeln.

Wann es nicht an der Geometrie liegt

Wenn ein Kind die Figur richtig zerlegt, den Ansatz hinschreibt und dann beim Ausrechnen scheitert, ist das kein Geometrieproblem. Dann fehlt Sicherheit beim Umstellen von Gleichungen oder beim Rechnen mit Wurzeln und Kommazahlen, und dort gehört auch geübt.

Ein zweiter Fall ist seltener und wird oft übersehen: Manchen Kindern fällt es schwer, sich Körper räumlich vorzustellen, während sie in der Ebene keinerlei Probleme haben. Das ist keine Frage von Fleiß. Hier helfen echte Gegenstände, gefaltete Netze aus Papier und das Anfassen von Modellen mehr als jede weitere Aufgabe auf dem Blatt. Wer das erkennt, spart Wochen an Übung, die am eigentlichen Hindernis vorbeigegangen wäre.